Mittaustasot ja tunnusluvut

1Muuttujat ja havaintomatriisi

Määrällinen aineisto on lähes aina taulukko, jota kutsutaan havaintomatriisiksi. Jokainen rivi on yksi havaintoyksikkö ja jokainen sarake yksi muuttuja. Solussa on yhden havaintoyksikön arvo yhdessä muuttujassa.

id	sukupuoli	koulutus	tyytyväisyys (1–5)	ikä	tulot €/kk
1	nainen	korkea-aste	4	34	3 200
2	mies	toinen aste	2	51	2 750
3	nainen	perusaste	5	67	1 480
4	mies	korkea-aste	3	28	2 100

Tässä havaintoyksikkö on kyselyyn vastannut henkilö. Havaintoyksikkö voi kuitenkin olla mikä tahansa, josta tietoa kerätään: kunta, koulu, yritys, maa tai vuosi. Tilastokeskuksen kuntatilastoissa havaintoyksikkö on kunta ja muuttujia ovat esimerkiksi väkiluku ja työttömyysaste.

Taulukon muuttujat ovat hyvin erilaisia. Sukupuolesta ei voi laskea keskiarvoa, mutta iästä voi. Tyytyväisyys on numero, mutta onko 4 "kaksi kertaa niin tyytyväinen" kuin 2? Näihin kysymyksiin vastaa muuttujan mittaustaso.

2Neljä mittaustasoa

Mittaustaso kertoo, mitä muuttujan arvojen välillä voi mielekkäästi tehdä. Se ratkaisee, mitä tunnuslukuja ja analyysimenetelmiä muuttujalle voi käyttää. Tasot muodostavat portaikon: jokainen ylempi taso sallii kaiken, mitä alemmat, ja lisäksi jotain uutta.

1

Luokitteluasteikko

Arvot ovat vain erilaisia. Niillä ei ole järjestystä. Jos luokat on koodattu numeroin (1 = mies, 2 = nainen), numerot ovat pelkkiä nimilappuja.

Esim. sukupuoli, asuinkunta, ammattiala, puoluekanta, siviilisääty

= ja ≠frekvenssit ja %moodi

2

Järjestysasteikko

Arvot voi asettaa järjestykseen, mutta peräkkäisten arvojen välit eivät ole välttämättä yhtä suuria.

Esim. koulutusaste, tyytyväisyys 1–5, sijoitus kilpailussa, sosiaaliluokka "ala / keski / ylä"

= ja ≠< ja >mediaanikvartiilit

3

Välimatka-asteikko

Välit ovat yhtä suuret, joten erotukset ovat mielekkäitä. Nollapiste on kuitenkin sovittu, eikä se tarkoita, että ominaisuutta ei olisi lainkaan.

Esim. lämpötila celsiusasteina, vuosiluku, syntymävuosi

= ≠ < >+ ja −keskiarvokeskihajonta

4

Suhdeasteikko

Asteikolla on luonnollinen nollapiste: nolla tarkoittaa, ettei ominaisuutta ole. Silloin myös suhteet ovat mielekkäitä: 40 vuotta on kaksi kertaa 20 vuotta.

Esim. ikä, tulot, pituus, paino, lasten lukumäärä, poissaolopäivät

kaikki edelliset× ja ÷variaatiokerroin

Kolmen kysymyksen testi

Voiko arvot laittaa järjestykseen? Jos ei, kyseessä on luokitteluasteikko.
Ovatko peräkkäisten arvojen välit yhtä suuret? Jos ei, kyseessä on järjestysasteikko.
Tarkoittaako nolla, ettei ominaisuutta ole lainkaan? Jos ei, kyseessä on välimatka-asteikko. Jos tarkoittaa, kyseessä on suhdeasteikko.

Muita jakoja, joihin törmäät

Luokittelu- ja järjestysasteikollisia muuttujia kutsutaan usein kategorisiksi tai laadullisiksi muuttujiksi. Välimatka- ja suhdeasteikollisia kutsutaan määrällisiksi eli kvantitatiivisiksi muuttujiksi. Käytännön analyyseissa välimatka- ja suhdeasteikkoa ei juuri tarvitse erottaa toisistaan, koska samat menetelmät käyvät molemmille.

Toinen jako on diskreetti ja jatkuva. Diskreetti muuttuja saa vain erillisiä arvoja (lasten lukumäärä 0, 1, 2 ...). Jatkuva muuttuja voi saada minkä tahansa arvon väliltä (pituus 172,4 cm). Tämä jako on eri asia kuin mittaustaso: lasten lukumäärä on diskreetti mutta suhdeasteikollinen.

Hankalat tapaukset

Likert-asteikot (esim. 1 = täysin eri mieltä ... 5 = täysin samaa mieltä) ovat muodollisesti järjestysasteikollisia. Käytännössä niistä lasketaan usein keskiarvoja, erityisesti kun useasta väittämästä muodostetaan summamuuttuja. Kun kysytään mittaustasoa, oikea vastaus on järjestysasteikko.
Dummymuuttuja (0 = ei, 1 = kyllä) on luokitteluasteikollinen, mutta sen keskiarvo on ykkösten osuus. Keskiarvo 0,62 tarkoittaa, että 62 % vastasi "kyllä".
Numero ei tee muuttujasta määrällistä. Postinumero ja henkilön id ovat luokitteluasteikollisia.
Syntymävuosi on välimatka-asteikollinen, ikä suhdeasteikollinen, vaikka ne kertovat saman asian. Vuosi 0 on sovittu, mutta ikä 0 on todellinen alku.

Tehtävä 2A

Luokittele muuttujat

Valitse jokaiselle muuttujalle mittaustaso. Saat palautteen heti. Väärän valinnan jälkeen voit yrittää uudelleen.

3Keskiluvut: moodi, mediaani ja keskiarvo

Keskiluku tiivistää yhteen lukuun, millainen on tyypillinen havainto. Keskilukuja on kolme, ja niistä valitaan se, jonka mittaustaso sallii ja joka kuvaa aineistoa parhaiten.

Moodi

Moodi eli tyyppiarvo on aineiston yleisin arvo. Se on ainoa keskiluku, jonka voi laskea luokitteluasteikolliselle muuttujalle. Moodeja voi olla useampi, ja jos kaikki arvot esiintyvät yhtä usein, moodia ei ole.

Mediaani

Mediaani on suuruusjärjestykseen asetetun aineiston keskimmäinen arvo. Sitä pienempiä ja suurempia havaintoja on yhtä paljon. Mediaani vaatii vähintään järjestysasteikon.

Pariton määrä havaintoja: 3, 7, 8, 12, 40 → mediaani on 8.
Parillinen määrä havaintoja: 3, 7, 8, 12 → mediaani on kahden keskimmäisen keskiarvo, (7 + 8) / 2 = 7,5.

Keskiarvo

Keskiarvo on arvojen summa jaettuna havaintojen määrällä. Se vaatii vähintään välimatka-asteikon, koska summaaminen edellyttää yhtä suuria välejä.

x̄ = x₁ + x₂ + … + x_nn = Σxn

Edellisen esimerkin aineistosta 3, 7, 8, 12, 40 keskiarvo on 70 / 5 = 14. Se on suurempi kuin neljä viidestä havainnosta, koska yksi suuri arvo (40) vetää sitä ylöspäin. Mediaani 8 kuvaa tyypillistä havaintoa paremmin.

Keskiarvo on tasapainopiste

Jos havainnot olisivat painoja laudalla, keskiarvo on kohta, jossa lauta pysyy tasapainossa. Kaukana oleva paino kääntää lautaa paljon, vaikka se olisi vain yksi. Mediaani taas välittää vain siitä, kummalla puolella havainnot ovat, ei siitä, kuinka kaukana.

Demo 3A

Siirrä havaintoja ja seuraa tunnuslukuja

Vedä palloja hiirellä tai sormella. Näppäimistöllä: sarkain valitsee pallon, nuolet siirtävät (vaihto + nuoli siirtää kymmenen), Delete poistaa. Alla oleva laatikkojana näyttää kvartiilit: laatikon sisällä on keskimmäinen 50 % havainnoista.

keskiarvomediaani

Kokeile itse:

Valitse "Symmetrinen" ja vedä oikeanpuoleisin pallo aivan reunaan. Kumpi liikkuu, keskiarvo vai mediaani?
Valitse "Poikkeava havainto". Mitä tapahtuu vaihteluvälille ja kvartiilivälille, kun vedät pallon 97 takaisin muiden joukkoon?
Vertaa "Pieni hajonta" ja "Suuri hajonta". Keskiarvo on molemmissa sama. Mikä luku kertoo eron?

4Hajontaluvut

Keskiluku ei riitä kuvaamaan aineistoa. Kahdessa ryhmässä voi olla sama keskiarvo, mutta toisessa kaikki ovat lähellä sitä ja toisessa arvot vaihtelevat laidasta laitaan. Hajontaluvut kertovat, kuinka paljon havainnot vaihtelevat.

Vaihteluväli

Vaihteluväli on suurimman ja pienimmän arvon erotus, tai se ilmoitetaan muodossa "pienin–suurin". Se on helppo laskea, mutta yksi poikkeava havainto muuttaa sen kokonaan.

Kvartiilit ja kvartiiliväli

Kvartiilit jakavat järjestetyn aineiston neljään yhtä suureen osaan. Alakvartiilin (Q1) alapuolella on 25 % havainnoista, mediaani (Q2) on keskellä ja yläkvartiilin (Q3) alapuolella on 75 %. Kvartiiliväli Q3 − Q1 on keskimmäisen puolikkaan leveys. Ääriarvot eivät vaikuta siihen, joten se sopii mediaanin pariksi vinoille jakaumille.

Järjestysasteikolla kvartiilit voi ilmoittaa (esim. "Q1 = 2, Q3 = 4"), mutta niiden erotuksen laskeminen edellyttää, että välit ovat yhtä suuret.

Varianssi ja keskihajonta

Keskihajonta kertoo, kuinka kaukana havainnot tyypillisesti ovat keskiarvosta. Se on keskiarvon luonteva pari, ja sitä käytetään eniten. Varianssi on keskihajonnan neliö. Varianssia tarvitaan laskuissa, mutta tulkintaan käytetään keskihajontaa, koska se on samassa yksikössä kuin itse muuttuja.

s = √Σ(x − x̄)²n − 1

Lasku etenee neljässä vaiheessa: lasketaan keskiarvo, jokaisen havainnon poikkeama siitä, poikkeamien neliöt ja niiden summa. Summa jaetaan luvulla n − 1, jolloin saadaan varianssi, ja varianssista otetaan neliöjuuri.

Demo 4A

Keskihajonta askel askeleelta

Miksi jaetaan n − 1:llä eikä n:llä?

Yleensä aineisto on otos, ja sen avulla halutaan arvioida koko perusjoukon hajontaa. Poikkeamat lasketaan kuitenkin otoksen omasta keskiarvosta, joka on laskettu juuri näistä havainnoista. Otoksen keskiarvo on aina se kohta, josta laskettu neliösumma on pienin mahdollinen. Siksi neliösumma jää keskimäärin hieman pienemmäksi kuin jos se laskettaisiin perusjoukon todellisesta keskiarvosta. Jakaminen n − 1:llä korjaa tämän. Lukua n − 1 kutsutaan vapausasteiksi, ja se tulee vastaan myöhemmin t-testissä.

Suurissa aineistoissa ero on mitätön. Excel ja Stata käyttävät oletuksena jakajaa n − 1.

Nyrkkisääntö keskihajonnan tulkintaan

Jos jakauma on suunnilleen normaalijakauman muotoinen (kellokäyrä), noin 68 % havainnoista on yhden keskihajonnan ja noin 95 % kahden keskihajonnan päässä keskiarvosta. Jos pituuden keskiarvo on 172 cm ja keskihajonta 9 cm, noin kaksi kolmasosaa on 163–181 cm pitkiä.

Variaatiokerroin

Kun halutaan verrata hajontaa muuttujissa, joiden taso on hyvin erilainen, käytetään variaatiokerrointa: keskihajonta jaettuna keskiarvolla, usein prosentteina. Keskihajonta 10 € on suuri, jos keskiarvo on 20 €, mutta pieni, jos keskiarvo on 2 000 €. Variaatiokerroin edellyttää suhdeasteikkoa.

5Frekvenssijakauma ja jakauman muoto

Kategorisia muuttujia ja pieniä asteikkoja kuvataan frekvenssitaulukolla. Siinä on jokaisen arvon frekvenssi (f) eli lukumäärä, prosenttiosuus ja usein kumulatiivinen prosenttiosuus, joka kertoo, kuinka moni sai kyseisen arvon tai sitä pienemmän.

Arvo	Selite	f	%	Kum. %
1	erittäin tyytymätön	4	8,0	8,0
2	melko tyytymätön	7	14,0	22,0
3	ei tyytyväinen eikä tyytymätön	12	24,0	46,0
4	melko tyytyväinen	18	36,0	82,0
5	erittäin tyytyväinen	9	18,0	100,0
	Yhteensä	50	100,0

Taulukosta näkee suoraan:

Moodi on 4, koska sillä on suurin frekvenssi (18).
Mediaani on 4. Kumulatiivinen prosentti ylittää 50 ensimmäisen kerran luokassa 4 (46 % → 82 %), joten keskimmäinen vastaaja on siinä luokassa.
Melko tai erittäin tyytyväisiä on 36 % + 18 % = 54 %.

Jakauman muoto

Keskiarvon ja mediaanin suhde kertoo jakauman muodosta. Symmetrisessä jakaumassa ne ovat lähes samat. Oikealle vinossa jakaumassa on pitkä häntä suurten arvojen suuntaan, ja keskiarvo on mediaania suurempi. Tulot ovat tyypillinen esimerkki. Vasemmalle vinossa jakaumassa häntä on pienten arvojen puolella, ja keskiarvo on mediaania pienempi, kuten helpon tentin pisteissä.

keskiarvomediaani

Tehtävä 5A

Lue frekvenssitaulukkoa

6Mikä tunnusluku milloin?

Tunnusluvun valinnassa on kaksi kysymystä. Ensin: mitä mittaustaso sallii? Sitten: mikä sallituista kuvaa aineistoa parhaiten? Jos jakauma on vino tai siinä on poikkeavia havaintoja, mediaani ja kvartiiliväli ovat usein parempia kuin keskiarvo ja keskihajonta, vaikka mittaustaso sallisi molemmat.

Mittaustaso	Moodi, %	Mediaani, kvartiilit	Keskiarvo, keskihajonta	Variaatiokerroin
Luokittelu	✓	–	–	–
Järjestys	✓	✓	(–)	–
Välimatka	✓	✓	✓	–
Suhde	✓	✓	✓	✓

(–) Järjestysasteikollisesta muuttujasta lasketaan käytännössä usein keskiarvo, mutta muodollisesti se ei ole perusteltua.

Tehtävä 6A

Valitse oikea tunnusluku

7Tunnusluvut Excelissä ja Statassa

Kurssin ensimmäisessä osassa tunnusluvut lasketaan Excelillä ja toisessa osassa Statalla. Tässä samat tunnusluvut molemmissa. Suomenkielisessä Excelissä funktioiden nimet ovat suomeksi ja argumentit erotetaan puolipisteellä. Esimerkeissä muuttujan arvot ovat soluissa A2:A51.

Tunnusluku	Excel (suomi)	Excel (englanti)	Stata
Keskiarvo	`=KESKIARVO(A2:A51)`	`AVERAGE`	`summarize x`
Mediaani	`=MEDIAANI(A2:A51)`	`MEDIAN`	`summarize x, detail`
Moodi	`=MOODI.YKSI(A2:A51)`	`MODE.SNGL`	`tabulate x`
Keskihajonta (otos)	`=KESKIHAJONTA.S(A2:A51)`	`STDEV.S`	`summarize x`
Varianssi (otos)	`=VAR.S(A2:A51)`	`VAR.S`	`summarize x, detail`
Kvartiilit	`=NELJÄNNES.SIS(A2:A51; 1)` `=NELJÄNNES.SIS(A2:A51; 3)`	`QUARTILE.INC`	`summarize x, detail`
Pienin ja suurin	`=MIN(A2:A51)`, `=MAKS(A2:A51)`	`MIN`, `MAX`	`summarize x`
Havaintojen määrä	`=LASKE(A2:A51)`	`COUNT`	`summarize x` (Obs)
Frekvenssi ehdolla	`=LASKE.JOS(A2:A51; 4)`	`COUNTIF`	`tabulate x`

Stata lyhyesti

Statassa yksi komento tulostaa monta tunnuslukua kerralla. Mediaani ja kvartiilit löytyvät detail-optiolla tulostuksen prosenttipisteistä: 25 % on Q1, 50 % mediaani ja 75 % Q3.

summarize ika tulot              // n, keskiarvo, keskihajonta, min, max
summarize tulot, detail          // lisäksi prosenttipisteet ja varianssi
tabulate koulutus                // frekvenssitaulukko: f, %, kum. %
tabstat tulot, statistics(n mean median sd iqr min max)

Kaksi sudenkuoppaa

.S vai .P? Excelissä KESKIHAJONTA.S jakaa luvulla n − 1 (otos) ja KESKIHAJONTA.P luvulla n (perusjoukko). Kurssilla käytetään yleensä S-versiota, ja se vastaa Statan tulosta.
Kvartiilit voivat erota ohjelmien välillä. Kvartiileille on useita laskusääntöjä. Excelin NELJÄNNES.SIS ja Statan summarize, detail käyttävät eri sääntöä, joten pienissä aineistoissa tulokset voivat poiketa hieman toisistaan. Kyse ei ole virheestä.

8Laskuharjoitus

Laske tunnusluvut käsin tai laskimella. Aineisto arvotaan joka kerta uudelleen, joten voit harjoitella niin monta kertaa kuin haluat. Jos vastaus on väärin, saat vihjeen, ja ratkaisun voi avata vaiheittain.

Tehtävä 8A

Laske tunnusluvut

Anna desimaaliluvut yhden desimaalin tarkkuudella. Pilkku ja piste käyvät molemmat.

9Moduulikoe

Koe

Kun koe on hyväksytty, moduuli näkyy etusivulla suoritettuna. Edistyminen tallentuu vain tähän selaimeen.

← Takaisin kurssin etusivulle

Mittaustasot ja tunnusluvut

Moduulin jälkeen osaat

1Muuttujat ja havaintomatriisi

2Neljä mittaustasoa

Luokitteluasteikko

Järjestysasteikko

Välimatka-asteikko

Suhdeasteikko

Muita jakoja, joihin törmäät

Luokittele muuttujat

3Keskiluvut: moodi, mediaani ja keskiarvo

Moodi

Mediaani

Keskiarvo

Siirrä havaintoja ja seuraa tunnuslukuja

4Hajontaluvut

Vaihteluväli

Kvartiilit ja kvartiiliväli

Varianssi ja keskihajonta

Keskihajonta askel askeleelta

Variaatiokerroin

5Frekvenssijakauma ja jakauman muoto

Jakauman muoto

Lue frekvenssitaulukkoa

6Mikä tunnusluku milloin?

Valitse oikea tunnusluku

7Tunnusluvut Excelissä ja Statassa

Stata lyhyesti

8Laskuharjoitus

Laske tunnusluvut

9Moduulikoe

Mittaustasot ja tunnusluvut